第一百零四章 淘汰（1 / 2）

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第104章淘汰

陆沉不知道该怎么接这句话。

彭老师也没有等他接。

“不过，你证明里有一个地方可以再精简。”他从文件袋里抽出一张草稿纸，铺在讲台上，画了一个简图，“从Turán极图的稳定子类到同调群维数计算的那一步过渡，你用了一个辅助构造。其实如果你直接利用Turán图本身的分层结构，可以少绕一步。”

陆沉看着彭老师在草稿纸上画的那个简图。

那是一个比他的原证明更简洁的构造—把Turán图的r部划分直接对应到单纯复形的r维骨架，然后通过计算骨架的同调群维数来得到极值的下界。

这个构造绕开了他原来那个辅助商构造，节省了大约三分之一的推导长度。

他盯着那张图看了十几秒，然后抬起头。

“彭老师，这个构造如果推广到禁止任意图H的情况，还能用吗？”

彭老师的眼镜片后面闪过一丝光。

“你问到点子上了。对于一般的H，Turán图的分层结构不再直接对应于同调维数的极值。这也是为什么图兰定理的扩展形式埃尔德什—斯通定理的证明比经典图兰定理复杂得多。”

他把草稿纸折起来递给陆沉。

“这张你留着。推广的事，不急。先把经典情况吃透。”

陆沉接过草稿纸，折好夹进便签本里。

走出教室的时候，王雪松在走廊里等他。

王雪松手里拿着笔记本，翻到某一页，上面画着一个和彭老师刚才画的类似的图但方向不同。

王雪松画的是把极值图论问题转化为矩阵特徵值估计的思路。

“我刚才听彭老师讲你那第二种证明路径的时候，忽然想到的。”王雪松把笔记本递过来，“如果把图的邻接矩阵的特徵值和图的同调群联系起来，是不是可以建立一个统一的框架？”

陆沉看着王雪松笔记本上那张图。

图的邻接矩阵——拉普拉斯矩阵——特徵值分布——谱半径——与同调群的贝蒂数之间的不等式关系。

王雪松画的箭头从左上角一直连到右下角，中间经过了四五个中间步骤，每一步旁边都标注了需要证明的引理。

这不是一个随手的想法。

这是一个有完整骨架的研究提纲。

“你这个框架。”陆沉看完以后说，“如果建成了，能把极值图论和谱图论打通。”

王雪松把笔记本收回去，合上。

“我知道。但中间需要证的引理太多了，我一个人短时间内证不完。等集训结束，如果你有兴趣—

”

他没有说完。

陆沉说：“有兴趣。”

王雪松点了点头，把笔记本放进书包里，往食堂的方向走去。

走了几步又回头：“今天食堂有红烧带鱼，走快点。”

晚饭确实有红烧带鱼。

陆沉打了一份，坐在陈志远旁边吃。

陈志远今天异常安静，整个吃饭过程中只说了两句话，一句是这带鱼刺真多，另一句是帮我递一下醋。

陆沉知道他在想什么。

下午彭老师讲图兰定理的时候，陈志远一直在记笔记，记得很认真，但他记笔记的方式和其他人不一样。

他记的不是彭老师讲的内容本身那些内容讲义上都有。

他记的是彭老师在讲解过程中随口说的那些话：这个构造的关键在于找到合适的分层丶这里的估计如果改用另一种范数可能会更紧丶这个方向目前还没有人做过。

这些话彭老师说出来可能自己都没太在意，但陈志远把它们全记下来了。

晚自习的时候，陈志远把笔记本摊开，对照着彭老师课堂上说的那些还没有人做过的方向，一条一条地查资料。

阅览室里的资料有限，他翻遍了书架上的《数学通报》合订本和几本论文集，找到了其中两个方向的相关文献，另外三个方向确实如彭老师所说，几乎是一片空白。

他合上最后一本论文集，靠在椅背上，盯着天花板看了很久。

“陆沉。”他说。

“嗯。

“”

“你说，一个人如果知道自己可能走不到最后，那他在路上做的这些事，记的笔记，查的资料，想到的点子，还有没有意义？”

陆沉停下笔。

阅览室的日光灯嗡嗡地响着，窗外有风摇动树枝的影子映在窗帘上。

他想了很久，然后说：“有。”

“为什么？”

“因为路不止一条，集训队是一条路，国家队是一条路，IMO是一条路。但数学本身是一条更长的路，你今天记的那些还没有人做过的方向，也许五年以后丶十年以后，你会真的去做它们。到那时候，没有人会问你你当年进国家队了吗。他们只会看你做出来的东西。”

陈志远听完以后沉默了很长时间。

然后他把靠椅背的头收回来，重新打开笔记本，翻到刚才查资料的某一页，在旁边又写了一行批注。

陆沉没有看他在写什么。

他把自己便签本里彭老师画的那张简图拿出来，铺在桌上，开始想王雪松说的那个框架——邻接矩阵的特徵值和同调群之间的联系。

图的谱半径。

拉普拉斯矩阵的次小特徵值。

与单纯复形的贝蒂数。

这些概念在他的大脑里分属于两个不同的知识体系—谱图论和代数拓扑。

王雪松画的那些箭头，本质上是在两个体系之间寻找对应关系。

他翻到便签本空白的一页，开始写。

先写谱图论侧的核心不等式：Cheeger不等式，图的扩张常数与拉普拉斯特徵值的关系。

再写代数拓扑侧的核心工具：单纯复形的同调群维数与面数的关系。

然后尝试在两者之间建立映射图的边对应于单纯复形的1维骨架，图的圈对应于1

维同调群的生成元，图的完全子图对应于高维单形。

写到中间一个引理的时候他卡住了。

图的邻接矩阵特徵值分布和同调群维数之间的一个不等式，方向和他预期的不一致。

他试了三种不同的映射方式，不等式方向都没有调过来。

他没有继续硬推。

他把这一页翻过去，在下一页写下了卡住的位置和可能的原因，然后合上便签本。

有些问题需要时间。

回到宿舍的时候，陈志远已经躺在床上了，但没有睡，手里举着那本吉米多维奇，翻到多重积分变量代换那一章。

他看见陆沉进来，把书放下。

“我想好了。”他说。

“想好什么？”

“不管最后进不进国家队，这半年我要学够本。”他把书重新举起来，挡住了脸，“吉米多维奇，还有阅览室里那些论文集，能啃多少啃多少。将来回去了，这些东西又不会消失。”

陆沉在自己床边坐下，脱鞋，躺下。

BJ的暖气今晚烧得比平时热一些，窗玻璃上的霜花化成水，一道一道地流下来。

“不会消失的。”他说。

陈志远在书后面嗯了一声。

第一次淘汰来得比所有人预想的都要早。

三月初的一个周六，刘领队在集会上宣布了第一轮集训的最终排名。

二十七个人，只有十八个人能留下来。

宣布的方式和发成绩单时一样，每人一个牛皮纸信封，里面装着排名和去留决定。

但这一次，信封的厚度不一样。

留下来的十八个人，信封里除了成绩单还有一张下一轮集训的日程表。

另外九个人，信封里只有一张返程火车票。

陆沉拆开自己的信封时注意到一个细节：火车票的日期是三天后，座位是硬卧。

集训队的经费并不宽裕，但给离开的人买了卧铺。

这个细节让活动室里的空气变得更加沉重—连告别的方式都被考虑得这么周全，意味着离开这件事从一开始就是被认真对待的，不是一个临时决定，而是整个计划的一部分。

没有人当场拆开信封看结果。

所有人把信封揣进口袋里，走出活动室，回到宿舍，或者找一个没人的角落，一个人面对那张纸。

陆沉在走廊里看见了陈志远的背影。

陈志远走得不快，两只手插在裤兜里，肩膀微微往前倾，像顶着风走路。

他没有回宿舍，而是拐进了水房。

陆沉跟过去，站在水房门口。

陈志远站在洗手池前面，信封拆开了，里面的纸摊在池子边沿。

他低着头看那张纸，两只手撑着水池边缘，手指用力到关节发白。

水龙头没关紧，水一滴一滴地落下来，砸在瓷砖上，声音在水房里被放大了好几倍。

陆沉没有走进去，也没有离开。