第13章碾压孟国伟（1 / 2）
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“更难的”陈平看向那个高个子男生。
“对。”高个子男生往椅背上一靠，双臂交叉在胸前，“单纯比记忆，说白了就是考谁脑子里的硬碟容量大，但真正的脑力不止是记东西，还包括运算速度、逻辑推理、空间想像等能力。”
他偏头看了孟国伟一眼，“孟哥，你说呢”
孟国伟没有立刻接话，他嘴上说不错，但输给一个高三学生，心里不可能一点波动都没有。
“也行。”
他把笔放下，语气依旧平和，但措辞明显比刚才更认真了，“上次是比单纯的记忆力，我们这次比的难度高一级。”
他转头看向黑框眼镜女生，“你帮忙找一下，竞赛级別的数论、组合、解析几何，来几道有含金量的。”
黑框眼镜女生划了几下平板，眼睛一亮：“找到了，去年全国高中数学联赛的复试题库……这样吧，我挑三道，一道数论，一道组合计数，一道函数方程。
都是省二等奖以上的难度，规则一样，限时二十分钟，做完就交，比正確率和用时。
公平起见，我用平板投屏，两个人同时看题，同时在纸上作答。”
她把平板架在桌子正中间的支架上，屏幕朝向两个人。
旁边几个人自动围成了一个半圆，高个子男生收起之前那副看戏的表情，搬了把椅子坐下来。
第一道题投在屏幕上：数论，求证：对任意正整数n，n?-n能被30整除。
陈平读完题，脑子里瞬间弹出费马小定理和同余式。
n?-n=n，连续三个整数的乘积必被6整除，再分別证能被5整除。
用模5同余，n≡0，±1，±2时各自代入验证，三十秒內思路就通了。
他低头开始写证明过程，笔尖在纸上刷刷地响。
孟国伟也几乎同时落笔，两个人的证明思路几乎一模一样，都是分解因式加同余討论。
这道题两个人打平，用时都在两分钟以內。
第二道题：组合计数，一个10x10的棋盘，每行每列恰好放两个棋子，问有多少种不同的放法。
这道题的难度，明显比上一道高了一个档次。
高个子男生凑过来看了一眼题目，倒吸一口凉气，小声说了句：“这也太变態了。”
孟国伟在草稿纸上列了一个10x10的矩阵模型，眉头微微皱起，笔尖在纸上点了好几下才开始写。
计数问题用容斥原理和生成函数都可以，但中间的分类討论极其繁琐，稍不留神就会漏算重复排列。
陈平没有急著动笔，专注、强化记忆、心斋三重叠加之下，他的大脑正在高速运转。
他放弃了孟国伟那种直接硬算的路线，转而用置换矩阵的等价类来归约，每行每列恰好两个棋子，等价於一个2-正则二部图的完美匹配计数，可以用积和式展开，但10阶积和式直接算还是太复杂。
他灵光一闪，想到用递推关係：设a_n为nxn棋盘的方案数，建立a_n与a_{n-1}、a_{n-2}的递推式，然后从a_1=0、a_2=1开始往上推。
他在草稿纸上快速演算了递推公式的推导过程，確认边界条件无误，然后开始逐级递推。
推到a_10的时候，数字已经很大了，但他的大脑在三重技能叠加下像一个精密的计算器，每一步递推都清清楚楚。
他写下平终答案的时候，孟国伟还在草稿纸上做第四种情况的分类。
陈平把答案纸翻过来扣在桌上，看了一眼计时器——十一分二十三秒。
孟国伟在第十四分钟完成了作答。
黑框眼镜女生核对答案，两个人都是对的。
但陈平的递推法比孟国维的分类討论简洁了將近一半的步骤，用时也少了將近三分钟。
高个子男生拿起陈平的草稿纸看了半天，嘴里嘟囔了一句：“递推都想到了，这人脑子里装的是编译器吗。”
第三道题：函数方程。
求所有函数f:rr，满足对任意实数x，y，有f+f=2ff。
陈平看到这道题，瞳孔微微缩了一下。
这是函数方程里的经典题型，柯西型加余弦型函数的混合。
他在强化记忆的加持下，瞬间调出了之前刷过的一套函数方程专题卷，里面有一道几乎一模一样的题。
唯一的区別，是右边係数是2ff而不是ff，这个係数差异会导致平终解的结构完全不同。
他花了三十秒回忆標准解法：先取特殊值x=y=0推出f的值，再取y=0推出f的奇偶性，然后取特殊值逐步推导f的具体形式。
他取x=y=0，代入得2f=2f2，f=0或1。
分情况討论。f=0时，取y=0代入得2f=2ff=0，f≡0，一个平凡解。
f=1时，取y=0代入得2f=2f，恆成立，没有额外约束。
再取x=0代入得f+f=2ff=2f，推出f=f，偶函数。
接下来取y=x代入得f+f=2f2，即f=2f2-1。
这个递推关係，让他想到了余弦的二倍角公式s2θ=2s2θ-1。
令f=s，代入原方程验证，s)+s)=2ss，这是三角恆等式，恆成立。
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