第16章 省赛第二场（1 / 2）
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第二场考试开始了。
拿到试卷的一瞬间，李帆就感觉到，难度确实提升了。
题目不再是那种一眼就能看出考点的常规题，而是绕了几个弯，需要更深的思考才能剥开外壳，看到内核。
他做得比上午要慢，也更谨慎。
时间一分一秒地流逝，当他攻克了前面的所有题目，来到最后一道压轴题时，墙上的时钟已经指向了考试的后半段。
【题目：设是一个素数，f(x)=a_n*x^n+...+a_1*x+a_0是一个整系数多项式。证明：若f(x)≡0(od)在模意义下有k个不同的解，则多项式f(x)的次数n必然大于或等于k，或者f(x)的所有系数a_i都是的倍数。】
李帆的瞳孔微微一缩。
【数论……还是和多项式结合的抽象代数题……】
这是他知识体系里，最薄弱的一环。
他死死地盯着题目，大脑的每一个褶皱都在疯狂检索。这个结论，他有印象，模糊地记得在“金钥匙”辅导班的某本讲义的角落里见过。它像一个定理，一个被他忽略了的、不起眼的定理。
【是什么……到底是什么……】
他尝试从最基础的定义出发，构造反证法，利用有限域Z_的性质……草稿纸上很快写满了各种符号和推演。
思路在某个点上，似乎通了。
【对了！在有限域Z_里，如果一个n次多项式f(x)有k个根，且n＜k，那么……】
然后呢？
然后是什么？
李帆的笔尖悬在了半空，大脑一片空白。
额头的汗珠变得黏腻，顺着太阳穴滑落，痒痒的，让他心烦意乱。
他越是焦急，那层水幕就越是浑浊。
“铃——”
考试结束的铃声，如同一声审判的钟鸣，无情地宣告了他这场挣扎的终结。
他最终还是没能想起那个关键的步骤——f(x)必须是g(x)的倍式，而在次数n＜k的前提下，这只有一种可能：f(x)在模意义下是零多项式，即所有系数都是的倍数。
一步之遥，咫尺天涯。
他放下了笔，脸上没什么表情，但心里却是一片冰凉。
……
与此同时，考场的另一端。
徐辰在看到这道题时，也愣了一下。
他同样不知道这个定理。陈老师的资料里，依然没有涉及到这部分内容。
所以他也没有像李帆那样，去记忆里搜索现成的定理。
他的思路，还是从更原始的路线进行推导。
【不懂理论，就回归定义。】
【有k个解，意味着什么？】
【意味着，可以列k个方程。】
一个大胆的念头在他脑海中闪过。
【我为什么要把它当成数论题来解？】
【这……这特喵的不就是一道线性代数题吗？！】
他瞬间感觉豁然开朗！
他的笔尖，在草稿纸上飞速移动，一行行工整的方程组，瞬间成型：
f(x_1)=a_n*x_1^n+...+a_0≡0(od)f(x_2)=a_n*x_2^n+...+a_0≡0(od)...f(x_k)=a_n*x_k^n+...+a_0≡0(od)
【这是一个关于系数a_0，a_1，...，a_n的齐次线性方程组。】
【如果n＜k，那么未知数的个数(n+1)就有可能小于方程的个数k。】
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