第9章 通往大学的高速公路（1 / 2）
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徐辰也没有多问，平静地拉过一张椅子，在陈嘉平的办公桌对面坐下，拧开笔帽，开始思考。
第一题：【求所有的素数和正整数n，使得n2+-1整除n3+3。】
典型的整除与不定方程结合。常规思路是利用同余性质，模或者模n进行试探，又或者试图通过假设的奇偶性来分类讨论。
但这两种方法犹如盲人摸象，不仅计算量庞大，而且极易陷入死胡同。
徐辰的笔尖在草稿纸上悬停了半秒，大脑已经开始了高速运转。
问题的核心，在于左边的二次式n2和右边的三次式n3阶数不匹配，且n与纠缠不清。想要建立整除关系，必须想办法“降次”并“剥离变量”。
徐辰思考着：直接做多项式除法吗？会产生分式，不够优雅。那就……主动构造一个中间项，把n3强行消掉！
这个念头如同一道闪电，数学天赋带给他超强的解题直觉！
他落笔了。
陈嘉平在一旁屏息凝神，他看到徐辰没有像普通竞赛生那样去穷举=2,3,5，而是直接在草稿纸上写下了一行让他瞳孔骤缩的算式：
(n2+-1)=n3+n-n
陈嘉平眉头紧锁，构造这个有什么用？
紧接着，徐辰写下了堪称“神之一手”的变形！
(n3+3)-n(n2+-1)=3-n(-1)
看到这一步，陈嘉平的呼吸瞬间停滞了！
他明白了！他彻底明白了！
因为n2+-1整除n3+3，而它显然也整除n倍的自已。两式相减，原先复杂的整除关系，瞬间坍缩成了：
2+-1│3-n(-1)
这一刀，直接切断了n的高次项干扰，将一个混沌的三次方程，降维打击成了一个关于的约束分析！
一个CMO级别的难题，被这匪夷所思的一步，直接简化成了纯粹的代数讨论！
徐辰的手速没有丝毫减慢。
“若右边为0，则3=n(-1)。因为质数，gcd(,-1)=1，故-1=1，得=2,n=8。”
“若右边不为0，利用绝对值不等式放缩……”
草稿纸上沙沙作响，另外两组解(3,1)和(3,4)如同瓮中之鳖，被精准地抓了出来。
徐辰从落笔到写完三组答案，全程不到十分钟。他没有用任何晦涩的数论定理，仅仅用了一步极其精准的代数构造，就将这道国家集训队难度的“拦路虎”斩于马下！
陈嘉平感觉自已的后背已经渗出了冷汗。
徐辰的天赋比他想象的还要夸张！
……
第二题：【设a，b，c为正实数，求(a+b+c)(1
a+1
b+1
c)的最小值。】
一道看似人畜无害，实则暗藏杀机的不等式题。
此刻徐辰的内心：哦？这个有意思了。出题人在这里挖了一个巨大的陷阱，专门坑那些只会死记硬背公式的学生。
这个陷阱就是，很多学生会想当然地分别使用均值不等式：a+b+c≥3?(abc)1
a+1
b+1
c≥3?(1
abc)然后将两式相乘，得到原式≥9。
看似没错，但乘法是有风险的。这种做法的漏洞在于，它默认了两个不等式可以同时取等。虽然这道题恰好可以，但这种解法在逻辑上是不严谨的。
徐辰想的没错，实际上这种做法在竞赛中会被扣分甚至判零分。
徐辰当然不屑于走这种钢丝。
他同样也懒得用竞赛生必备的“柯西-施瓦茨不等式”，那就像用一把精密的钥匙开锁，虽然高效，但不够“暴力”，不够“美”。
他选择了最原始，也最能体现问题本质的方法——展开！
大道至简，返璞归真！
他直接将原式展开：
原式=1+a
b+a
c+b
a+1+b
c+c
a+c
b+1
=3+(a
b+b
a)+(a
c+c
a)+(b
c+c
b)
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